Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, ТЭЦ, Высшей математике www.toehelp.ru
Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
   Теория / Информатика / Лекция 10. Численное дифференцирование

Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной

.

При численном нахождении производной заменим отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента отношением конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной.


Первая производная. Двухточечные методы.

Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δx = h вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получается три двухточечных метода численного дифференцирования:


метод 1

метод 2

метод 3



Суть указанных методов проиллюстрирована на рисунке. Численное значение тангенса угла α образованного касательной к графику y(x) и осью абсцисс, показывает точное значение производной(геометрический смысл производной). Тангенсы углов α1, α2, α3 соответствуют приближенным значениям производных, определенных методами 1,2,3 соответственно (подумайте почему?).


Пример. Вычислить точное и приближенное (тремя методами) значения производной функции y=x*x в точке x=1 с шагом h=1 и h=0.001.

Этапы решения задачи приведены в таблице.


Таблица

N

Этап программирования

Выполнение

1.

Постановка задачи

Вычислить точное и приближенное (тремя методами) значения производной функции y=x*x в точке x=1 с шагом h=1 и h=0.001.

2.

Математическое описание

Аналитическое решение: y'=2x , y'(1)=2,

Численное решение для шага: h=1

,

для шага h=0.001

3.

Разработка структограммы

Выполнить самостоятельно

4.

Написание программы

Выполнить самостоятельно

5.

Отладка и получени результатов

Выполнить самостоятельно


Вычисление первых производных по трёхточечным схемам.

Расчетные формулы для указанной трехточечной схемы имеют вид:


Вычисление производных второго порядка.

Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Для следующей пятиточечной схемы



расчетная формула имеет вид:


Пример. Написать программу для нахождения второй производной функции y = 2 * x4

в точке x=1 с шагом h=0.01, сравнить с точным значением.


Таблица

N

Технологическая операция

Выполнение

1.

Постановка задачи

Написать программу для нахождения второй производной функции y = 2 * x4 в точке x=1 с шагом h=0.01, сравнить с точным значением.

2.

Математическое описание

Аналитическое значение

.

Приближенное значение

3.

Разработка структограммы

Описание x,y,h

x=1; h=0.01

Вывод


4.

Написание программы

Program P7;

Var x,ddy,h:real;

Function y(x:real):real;

begin

y:=2*sqr(sqr(x));

end;

begin

x:=1;h:=0.01;

ddy:=(y(x+h)-2*y(x)+y(x-h))/h/h;

writeln(ddy);

end.

5.

Отладка и получение результатов

Выполнить сомостоятельно.



Вычисление производных третьего порядка.

Производные третьего порядка вычисляются как первая производная от производной второго порядка. Для рассмотренной пятиточечной схемы расчетная формула имеет вид


Контрольное задание. Лабораторная работа 2.

Численное дифференцирование

  1. Вычислить значение производной в произвольной точке x=x0 аналитически и численно тремя методами для пяти значений приращения аргумента Δx=1; 0.2; 0.1; 0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы

    Таблица вывода результатов расчета

    Δx

    y(x) y'(x)

    1

             

    0.2

             

    0.1

             

    0.01

             

    0.001

             

  2. Построить графики функций y'(x0) = F(Δx). Варианты функций приведены в таблице.

    Таблица

    Варианты функций

    Вар.

    Вид функции

    Вар.

    Вид функции

    1

    x(t)=Ae-at sin(ωt+b)

    14

    y=ctgm (ax)

    2

    x(t)=Aeat cos(ωt+b)

    15

    y(x)=(eax-e-ax)n

    3

    16

    x(t)=tat

    4

    уυ(t)=cos2(at+b)

    17

    y(x)=(ax)sin(bx)

    5

    yυ(t)=sin2(at+b)

    18

    6

    19

    7

    q(t)=(a-btn)n

    20

    8

    y(x)=xncos(ax)

    21

    R(φ)=arccosm(a+bφn)

    9

    22

    r(φ)=csin(aφ+b)

    10

    23

    y(x)=ln(tgn(ax+b))

    11

    24

    vυ(t)=loga(tn+bm)k

    12

    S(φ)=Вcоsn(aφ+b)

    25

    S(φ)=Asinn(aφ+b)

    13

    y=tgax( x/a )

    26

    X(t)=lg(atn+b)



Примечание. Значение параметров a, b, c, d, m, n, A, B выбрать самостоятельно.

Содержание отчета:

  1. Название, цель работы и задание.
  2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
  3. Таблица результатов расчета, четыре графика зависимости y'(x0) = F(Δx) для трехчисленных методов и точного значения интеграла, выводы по работе.