Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, ТЭЦ, Высшей математике www.toehelp.ru

   
Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
   Теория / Информатика / Лекция 12. Решение нелинейных уравнений

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.

  1. Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения. Структограмма метода приведена на рисунке.

    Пока F(x)∙F(x+h)>0

    Рис. Структограмма для метода

    перебора

    x=x+h


  2. Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c)<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|>ε. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рисунке.

    Пока |b-a|>ε

    c=(a+b)/2

    F(a)∙F(c)<0

    да

    нет

    b=c

    a=c


    Рис. Структограмма для метода половинного деления

  3. Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)∙F(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (попытайтесь получить формулу самостоятельно).Структограмма метода хорд показана на рисунке.

    Пока |F(c)|>ε

    F(a)∙F(c)<0

    да

    нет

    b=c

    a=c


    Рис. Структограмма для метода хорд

  4. Метод касательных. При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Затем в точке(x0,F(x0)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x1. В точке (x1,F(x1)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x2 и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(xi)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x0)∙F''(x0)>0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.

    Пока |F(x)|> ε

    Рис. Структограмма для

    метода касательных


  5. Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(xi) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных . Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.
  6. Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Первое приближение решения x1 находим из выражения x1=f(x0), второе - x2=f(x1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|<1. Структограмма метода итераций показана на рис.

    Пока |f(xi)|> ε

    Рис. Структограмма для метода итераций

    xi+1 =f(xi)



Контрольное задание. Лабораторная работа 4.

Решение нелинейных уравнений.

Задание. Решить нелинейное уравнениеуказанными в табл. методами, предварительно определив интервал [a,b], на котором существует решение уравнения. Сделать проверку решения.

Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице.


Таблица

Варианты уравнений и методов их решения

Вар.

Уравнение

Методы решения

1

x=exp(-x)

Перебора и половинного деления

2

x=cos(x)

перебора и хорд

3

х=x2-1

Перебора и касательных

4

x=2exp(-x)

Перебора и хорд-касательных

5

x=exp(-3x)

Перебора и половинного деления

6

x=3cos(x)

перебора и хорд

7

x=exp(-3x2)

Перебора и касательных

8

x=tg(x)

Перебора и хорд-касательных

9

x=cos(2x)

Перебора и половинного деления

10

x=tg(2x)-1

перебора и хорд

11

x=exp(-3x)+1

Перебора и касательных

12

x=exp(-x2)

Перебора и хорд-касательных

13

x= ln(x)+2

Перебора и половинного деления

14

x=exp(-3x)

перебора и хорд

15

x2=exp(-x2)

Перебора и касательных

16

x=2exp(-3x)+1

Перебора и хорд-касательных

17

x=exp(-x2)+2

Перебора и половинного деления

18

x= ln(x)+3

перебора и хорд

19

x=3exp(-3x)

Перебора и касательных

20

x2=exp(-x2)-1

Перебора и хорд-касательных

21

x=exp(-3x2)

Перебора и половинного деления

22

x=tg(x)

перебора и хорд

23

x=cos(2x)

Перебора и касательных

24

x=tg(2x)-1

Перебора и хорд-касательных

25

x=exp(-3x)+1

Перебора и половинного деления


Содержание отчета:

  1. Название, цель работы и задание.
  2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
  3. Результаты расчета, проверка и выводы по работе.