Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, ТЭЦ, Высшей математике www.toehelp.ru
Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
   Теория / Информатика / Лекция 13. Численное решение дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y).

  1. Метод Эйлера.

    Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

    • вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)


      y1=y0+h*f(x0,y0)

      x1=x0+h

      Расчетные формулы для 1-го шага

      yi+1=yi+h*f(xi,yi)

      xi+1=xi*h

      Расчетные формулы для i-го шага

    • вариант 2 (графический)

      y1=y0+f(x0,y0)*h;

      x1=x0+h

      yi+1=yi+h*f(xi,yi)

      k1=h*f(xi,yi)

      yi+1=yi+ki

      xi+1=xi+h

      Аналогично варианту 1



    Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.

  2. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

    уi+1i+hf(xi+h/2, yi+hf(xi,yi)/2),

    xi+1=xi+h.

  3. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

    уi+1i+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],

    xi+1=xi+h.

  4. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

    уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,

    k1=hf(xi, yi),

    k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

    k3=hf(xi+h, yi+2k2-k1),

    xi+1=xi+h.

  5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

    уi+1i+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

    k1=hf(xi,yi),

    k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

    k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),

    k4=hf(xi+h, yi+k3),

    xi+1=xi+h,

    где уi+1i - значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить значение функции при xk=1, h=1.

Решение задачи приведено в таблице.


Таблица

N

Этап программирования

Выполнение

1.

Постановка задачи

Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1

2.

Математическое описание

  1. Аналитическое решение.

    dy/dx=x2

    y=1+x3/3,

    yk=y(1)=1+1/3=4/3.

  2. Метод Эйлера.
  3. Модифицированный метод Эйлера 1.
  4. Модифицированный метод Эйлера 2.
  5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

3.

Разработка структограммы

Выполнить самостоятельно

4.

Написание программы

Выполнить самостоятельно

5.

Отладка и получение результатов

Выполнить самостоятельно



Контрольное задание. Лабораторная работа 5.

Численное решение дифференциальных уравнений

Задание.

  1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы.
  2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице

Оформление результатов расчета


Таблица

х

Решения уравнения, у(x)

Аналит

Численное

метод 1

Метод 2

 

h=0.01

h=0.001

h=0.01

h=0.001

           
           


Варианты уравнений и методов их решения


Таблица

Вар.

Вид уравнения

Метод

Вар.

Вид уравнения

Метод

1

у'=(xy2+x)/(y-x2y)

1,4

14

у'=cos(t)-y

3,5

2

у'=(1-2x)/y2

2,4

15

y'=exp(bx)-ay

1,4

3

у'=(1-x2)/xy

3,4

16

У'=-2y/(y2-6x)

2,4

4

у'=(y2-y)/x

1,5

17

у'=1/(2x-y2)

3,4

5

y'=(1+y)/(tg(x)

2,5

18

у'=sec(x)- y tg(x)

1,5

6

у'=exp(x)-1

3,5

19

y'=(exp(x)-y)/x

2,5

7

y'=y ln(y)/sin(x)

1,4

20

у'=1+y/(x(x+1))

3,5

8

у'=(1+y2)/(1+x2)

2,4

21

у'=(y+yx2-x2)/(x(1+x2))

1,4

9

у'=4x-2y

3,4

22

у'=cos(x-y)

2,4

10

у'=x exp(-x2)-2xy

1,5

23

у'=3x-2y+5

3,4

11

у'=2x-y

2,5

24

у'=sin(x)-y

1,5

12

у'=exp(-x)-2y

3,5

25

у'=exp(x)-y

2,5

13

у'=exp(-x)-2x

1,4

26

у'=exp(2x)-1

3,5



Примечание. Значение параметров a, b и начальные условия y|x=x0=y0 выбрать cамостоятельно.

Содержание отчета:

  1. Название, цель работы и задание.
  2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
  3. Результаты расчета, пять графиков зависимости y(x) и выводы по работе.