Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию, Термеху...  http://www.toehelp.ru
Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
   Теория / Теория Вероятности / 4.1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
§ 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

   В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

   1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

   Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

   m1 - число подшипников с внешним диаметром х1,
   m2 - число подшипников с внешним диаметром х2,
   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
   mn - число подшипников с внешним диаметром хn,

   Здесь m1+m2+...+mn=N. Найдем среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

   Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х1, х2, ..., хn, c соответствующими вероятностями p1=m1/N, p2=m2/N, ..., pn=mn/N, так как вероятность pi появления подшипника с внешним диаметром xi равна mi /N. Таким образом, среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

   Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей
 
Значения х1 х2 . . . хn
Вероятности p1 p2 . . . pn


   Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *
(39)

   Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

   Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством
(40)

   При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.

   Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

   1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.
   Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

   2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

   Доказательство. Используя соотношение (39), имеем


   3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
(41)


   4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:
(42)


Дальше...

   * в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2, ..., xn, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда
причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

   ** Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину
, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .