Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию, Термеху...  http://www.toehelp.ru

Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
   Теория / Теория Вероятности / 4.2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
§ 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

   2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

   Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
   Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения
 
Значения -0,2 -0,1 0,1 0,2
Вероятности p(x) 0,25 0,25 0,25 0,25

 
Значения -50 -40 40 50
Вероятности p(x) 0,25 0,25 0,25 0,25

   Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:
 

   Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
   Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:
(43)
   Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x1, x2, ..., xn соответственно с вероятностями p1, p2, ..., pn. Очевидно, случайная величина принимает значения
с теми же вероятностями p1, p2, ..., pn. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем
(44)
   Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению
(45)
   Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем
   Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим
   Следовательно,
   Откуда окончательно находим
(46)

   Рассмотрим теперь свойства дисперсии.

   1°. Дисперсия постоянной равна нулю. (Доказательство)

   2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
(47)
(Доказательство)


   3°. Если и - независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:
(48)
(Доказательство)


   Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
(49)

   Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .

   Пример 1. Cлучайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1). Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение (Решение)

   Пример 2. Cлучайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p (см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию. (Решение)

   Пример 3. Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и (Решение)

   Пример 4. Пусть - случайная величина распределенная по закону Пуассона
[См. формулу (17)]. Найти: (Решение)

   Пример 5. Пусть - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью
[См. формулу (27)]. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение cлучайной величины. (Решение)

   Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и (см. § 3, п.5). Найдем и    Так как
   ,то по формуле (40) находим
   Проведем в интеграле замену переменной, полагая
   тогда
   Следовательно,
   Но
   [См. формулу (29)]. Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций
   Следовательно,

   Дисперсию находим по формуле (45)
   (вычисление интеграла не приводим).

   Итак,


   Таким образом, параметры a и для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

Дальше...

   * Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как
Здесь мы воспользовались тем, что постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.