Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию, Термеху...  http://www.toehelp.ru
Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
   Теория / Теория Вероятности / 6.1. Теорема Ляпунова.
§ 6. ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА И ЛАПЛАСА.

   1. Теорема Ляпунова.

   Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым * и составляют содержание теоремы, названной его именем.
   Приведем без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова.
   Пусть последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем эти величины обладают следующими двумя свойствами:

   1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

   2) Cумма неограниченно растет при .

   Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.

   Пусть a и - математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда


   Так как по следствию из теоремы Ляпунова случайная величина для больших значений n имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32) имеет место соотношение
(56)

   где Ф(х) - интеграл вероятностей.

Дальше...

   * А.М.Ляпунов (1857-1918) - выдающийся русский математик.