Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...
Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...
|
|
| Главная | Цены | Оплата | Примеры решений | Отзывы | Ccылки | Теория | Книги | Сотрудничество | Форум |
| Теория / Теория Вероятности / 6.3. Интегральная теорема Лапласа. |
|
§ 6. ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА И ЛАПЛАСА.
3. Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение. Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна  . Пусть m - число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно
больших n случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np,  .
Доказательство. Пусть  - число наступления события A в i-м
опыте. Тогда  ,  (cм. § 4, п. 2, пример 2).
Так как может принимать только два значения 0 и 1, то для любого i имеем
 . Кроме того, величина  стремится к бесконечности при  .
Итак, последовательность случайных величин  удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова.
Поэтому сумма этих величин  достаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать.
Вычислим вероятность того, что случайная величина m, т. е. число наступлений события А в n опытах, удовлетворяет неравенствам  , где x1 и x2 - данные числа.
Так как a=M(m)=np,  (cм. § 4, п. 2, пример 2).
То согласно формуле (32) получим
где Ф(х) - интеграл вероятностей. Пример. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760. (Решение) |
