www.toehelp.ru

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию ...

/ / / Лекция 11. Численное интегрирование

Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении всех промежутков ∆xi к нулю

При приближенном вычислении определенного интеграла шаг интегрирования h=∆x выбирается конечным: , где Ii - элемент интегральной суммы. Заменяя подынтегральную функцию на каждом шаге отрезками линий нулевого, первого и второго порядков, получаем приближенные формулы для вычисления интеграла методами прямоугольников, трапеций и Симпсона соответственно.

  1.  

    Правило прямоугольников (n=0). Заменяем график функции F(x) горизонтальной линией (линий нулевого порядка) и вычисляем значение элемента интегральной суммы как площадь прямоугольника

    , где h - шаг интегрирования, у0 - значение функции в точке х=х0

    у(х0)=у0

  2.  

    Правило трапеций (n=1). Заменяем график функции F(x) прямой, проходящей через две точки (х00) и (х0+h,у1), и вычисляем значение элемента интегральной суммы как площадь трапеции

  3.  

    Правило Симпсона (n=2). Заменяем график функции F(x) квадратичной параболой, проходящей через три точки с координатами (х00), (х0+h,у1), (х0+2h,у2). Расчетную формулу для вычисления элемента интегральной суммы получим, используя интерполяционный многочлен Лагранжа, в виде

    y(x)=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x), где

    При x0=0; x1=h; x2=2h, получим

    При интегрировании на отрезке [a,b] расчетные формулы для методов прямоугольника, трапеций и Симпсона имеют вид

    где h - шаг по x, fa, fi, fb - значения функции при x равном a, xi, b соответственно. Для метода прямоугольников приведены две расчетные формулы, так как площадь прямоугольника на каждом шаге интегрирования может определяться по левой или правой стороне. Суть метода прямоугольников для отрезка [a,b] проиллюстрирована на рисунке, при этом площадь под кривой f(x) (вспомните геометрический смысл определенного интеграла) заменена суммой площадей заштрихованных прямоугольников.

    Рис. Численное интегрированние методом прямоугольников

Пример. Вычислить определенный интеграл четырьмя численными методами, сравнить с точным значением.

Этапы решения задачи приведены в таблице

Таблица

Этап программирования

Выполнение

1. Постановка задачи

Вычислить определенный интеграл четырьмя численными методами и сравнить с точным значением

2. Математическое описание

Аналитическое решение:

Численное решение:

выполнить самостоятельно

3. Разработка структограммы

Выполнить самостоятельно

4. Написание программы

Выполнить самостоятельно

5. Отладка и получение результатов

Выполнить самостоятельно


Контрольное задание. Лабораторная работа 3.

Численное интегрирование

Задание.

  1. Вычислить значение определенного интеграла аналитически и численно четырьмя методами для пяти значений N, где N – число разбиений интервала интегрирования N=10; 20; 50; 100; 1000. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы.

Таблица

Представление результатов расчета

N

Аналит. Значение

Метод

прямоуг. 1

Метод прямоуг. 2

Метод трапеций

Метод Симпсона

10

         

20

         

50

         

100

         

1000

         
  1. Построить графики функций I=F(N).

    Варианты интегралов приведены в таблице

Таблица

Варианты интегралов

Вар.

Вид интеграла

Вар.

Вид интеграла

1

14

2

15

3

16

4

17

5

18

6

19

7

20

8

21

9

22

10

23

11

24

12

25

13

26

Содержание отчета:

  1. Название, цель работы и задание.
  2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
  3. Таблица результатов расчета, пять графиков зависимости I(N) для четырех численных методов и точного значения интеграла, выводы по работе.

Далее...

Социальные сети  

Реклама

Социальные сети