Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A₁ и B₁ проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A₁ имеет координату x₁, а B₁ – координату x₂ на оси l.

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x₁ – x₂ между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x₂> x₁, и проекция x₂ – x₁> 0; если этот угол тупой, то x₂< x₁ и проекция x₂ – x₁< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x₂= x₁ и x₂– x₁=0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A₁B₁, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

1. Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

   

   Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим .

   

   1. Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или
   2. Если угол φ тупой, то x< 0, . Тогда из или . Т.е. .

   

2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

   Доказательство. Пусть . Обозначим через x₁, x₂ и x₃ координаты проекций A₁, B₁, C₁ на ось l точек A, B и C. Тогда . Но .

   Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

   

3. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

   .

   Доказательство. Пусть угол между вектором и осью .

   Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол .

   При λ > 0 .

   Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и .

   Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми.

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство:

1. Действительно, пусть имеем два коллинеарных вектора и . Тогда либо оба они равны нулю, и следовательно, любая их линейная комбинация при любых λ₁ и λ₂, либо один из них не нуль, тогда другой отличается от него на числовой множитель, например, . Но отсюда , а это и означает линейную зависимость векторов и .
2. Докажем обратное, т.е. если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны. Пусть векторы и линейно зависимы. Тогда найдутся числа λ₁ и λ₂ такие, что , причём, например, λ₂ ≠ 0. Тогда , т.е. векторы коллинеарны.

   Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости могут быть только те векторы, которые неколлинеарны.

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство.

1. Пусть три вектора линейно зависимы, т.е. , где, например, λ₃ ≠ 0. Тогда .

   Отнесём векторы и к одному началу и проведём через них плоскость. Тогда и будут лежать в той же плоскости, а потому и их сумма, т.е. будет лежать в той же плоскости, т.е. – компланарны.
2. Пусть теперь векторы – компланарны. Тогда они будут лежать в одной плоскости. Отнесём все три вектора к одному началу.

   Если векторы и не коллинеарны, то очевидно, вектор можно предствить в виде . Действительно из рисунка видно, что , где и , а значит найдутся числа и такие, что .

   

   Если же вектор коллинеарен вектору , то один из них линейно выражен через другой, т.е. . Что и требовалось доказать.

   Таким образом, три некомпланарных вектора всегда линейно независимы. Кроме того, можно показать, что каждые четыре вектора линейно зависимы.

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x, y, z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство.

1. Докажем сначала существование такого представления.
   1. Предположим, что коллинеарен какому-либо из векторов базиса, например, .

      

      Тогда по доказанному выше . Следовательно, , где x = l, y = z = 0.
   2. Пусть компланарен с какой-либо парой базисных векторов, например, с и . Отложим три вектора от одной точки O. Через точку A проведём прямые, параллельные векторам и . Тогда , причём векторы и коллинеарны соответственно векторам и . Поэтому найдутся числа x и y такие, что , а значит .
   3. Пусть некомпланарен ни с одной парой базисных векторов.

      

      Отложим от одной точки и проведём через конец вектора прямую, параллельную вектору . Она пересечёт плоскость в точке A₁. Очевидно, что . Но вектор компланарен векторам и , следовательно, по доказанному выше, , а вектор коллинеарен , поэтому . Таким образом, .
2. Докажем теперь единственность такого представления.

   Допустим, что возможны два представления вектора и . Причём, например, . Тогда должны иметь , т.к. иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку A₁ параллельно . Из последнего равенства вытекает, что . Получили противоречие с нашим предположением, что и доказывает теорему.

   В качестве частного случая из этой же теоремы можно сформировать следующее утверждение:

   Если задан базис на плоскости, то любой вектор, компланарный с векторами можно представить в виде , причём такое разложение единственно.

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M. Введём понятие координаты точки M. Вектор , соединяющий начало координат с точкой M. называется радиус-вектором точки M.

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M. называются координатами точки M. в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной системой координат. В этом случае основные векторы принято обозначать буквами , а оси координат Ox, Oy и Oz.

Таким образом, любой вектор в декартовой прямоугольной системе координат можно записать в виде: .

Примеры.

1. Построить на плоскости в декартовой системе координат вектор . Вектор примем в качестве радиус-вектора точки

   М(-1;3).

2. Построить вектор . Вектор примем в качестве радиус-вектора точки N(2; -1; 3).

   В дальнейшем мы в основном будем использовать только декартову прямоугольную систему координат.

НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задан вектор . Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ которые вектор составляет с осями координат. Косинусы этих углов cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора.

Найдем выражение для направляющих косинусов вектора.

Пусть вектор задан в координатной форме .

Тогда , откуда.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.