ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. если .

   Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложении векторов будем иметь

   .

   При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если .

   Доказательство очевидно.

   Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.

   Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если , то.

   Доказательство:

   1. Пусть вектор коллинеарен , тогда найдется λ такое, что . Значит, и . Поскольку разложение вектора по элементам базиса единственно, то .
   2. Пусть выполняется равенство . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно, , т.е. . Теорема доказана.

      Пример.

      1. Даны векторы . Найти вектор .

         .

      2. Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами , , .

         Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:

         

         Итак, .

      

      Рассмотрим две произвольные точки и . Найдем координаты вектора .

      Очевидно, что . Но по определению координат вектора и . Следовательно,

      

      Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

      Примеры.

      1. Заданы точкиA(1; -2; 3), B(2; 0; -1). Найти вектор .

         

      2. Даны A(-2; 3; 1), В(-1; 2; 0), С(0; 1; 1). Найти .

         

         

      3. Известно, что. Найти координаты точки D, если

         А(3; -4; -1), В(-4; 4; 1), С(-3; -5; 4).

         Пусть тогда

         . С другой стороны . Следовательно, должно выполняться равенство (x+3; y+5; z-4)=(5;10;-8). Отсюда

         x=2, y=5, z=-4, т.е. точка D имеет координаты D(2; 5; -4).

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается . Итак, .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

   Очевидно, из определения скалярного произведения:

   .

2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

   .

   Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами и совпадает с углом между векторами и , .

   Поэтому . Откуда

   Аналогично доказывается и равенство .

   Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

3. Для любых векторов выполняется равенство .

   Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

   

4. Для любого вектора выполняется соотношение.

   Действительно, так как , то .

   Из этого свойства в частности следует .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

   Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

   Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

   Пример. Дан вектор . Известно, что

   Найти .

   Имеем, т.е. .

   Найдем:

   Следовательно, .

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в координатной форме. Пусть даны два вектора и .

Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друг на друга.

Поэтому

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: .

Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:

.

Далее из определения скалярного произведения находим

.

Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами

.

Условие ортогональности двух векторов:

или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Примеры.

1. Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), . Найти:
   1. ;
   2. и ;
   3. .
      1. .
      2. .
      3. .
2. Найти в , если известны координаты его вершин A(1; 5; 6),

   

   B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).

   

   

3. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

   Условие ортогональности двух векторов .

   . Следовательно, m = 15.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .

Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .



2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
3. Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

   .

   Таким образом, и .

2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .

   Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .



3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов

   .

   Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения

   

   Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .

   Поэтому .

   Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.

4. Для любых векторов имеет место равенство

   .

   Примем без доказательства.

5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

   Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

   Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

   В частности .

Примеры.

1. Раскрыть скобки

   .

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если известно, что и .

   .

   Найдем .

   .

Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:

.

Примеры.

1. Найти векторное произведение векторов и .

   .

2. Найти площадь , если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).

   

3. Даны векторы . Найти параметры n, p, q если известно, что векторы и коллинеарны, а векторы и ортогональны.

   Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений