§ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

3.2. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х, т. е.

(18)

Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.

Пример 1. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 1, п. 1. (Решение)

Пример 2. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 2, п. 1. (Решение)

Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам .

Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайняя величина примет значение, меньшее . Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина принимает значения, меньшие , т.е. ; 2) случайная величина принимает значения, удовлетворяющие неравенствам . Используя аксиому сложения, получаем

Отсюда

Но по определению функции распределения F(x) [см. формулу (18)], имеем , ; cледовательно,

(19)

Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.

Рассмотрим основные свойства функции распределения.

1°. Функция распределения является неубывающей.

В самом деле, пусть <. Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Поэтому из формулы (19) следует, что , т.е. .

2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам .

Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность [см. формулу (18)]. Ясно, что * и .

3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi.

Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в формуле (19) , , получим

(20)

В пределе при вместо вероятности попадания случайной величины на интервал получим вероятность того, что величина примет данное значение xi:

C другой стороны, получаем , т.е. предел функции F(x) справа, так как . Следовательно, в пределе формула (20) примет вид

(21)

т.е. значение p(xi) равно скачку функции ** xi. Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 4 и рис. 5.

** Можно показать, что F(xi)=F(xi-0), т.е. что функция F(x) непрерывна слева в точке xi.