§ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3.4. Равномерное распределение.
Пусть сегмент [a,b] оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания
указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя
прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента [a,b].
Поэтому
.
Если, далее, x1 и x2 (x1<x2) - две любые отметки на шкале, то
согласно условию имеем
где k - коэффициент пропорциональности, не зависящий от x1 и x2, а
разность x2-x1, - длина сегмента [x1,x2]. Так как при
x1=a и x2=b имеем , то k(b-a)=1, откуда k=1/(b-a).
Таким образом
![]() |
(26) |
Теперь легко найти функцию F(x) распределения вероятностей случайной величины .
Если
, то
так как
не принимает значений, меньших a.
Пусть теперь
. По аксиоме сложения вероятностей
.
Согласно формуле (26), в которой принимаем x1=a, x2=х имеем
Так как , то при
получаем
Наконец, если x>b, то F(x)=1, так как значения лежит на
сегменте [a,b] и, следовательно, не превосходят b. Итак, приходим к следующей функции распределения:
График функции F(x) представлен на рис. 9.
Плотность распределения вероятностей найдем по формуле (25).
Если x<a или x>b, то . Если a<x<b, то
Таким образом,
![]() ![]() |
(27) |
График функции изображен на рис. 10. Заметим, что в точках a и b
функция
терпит разрыв.
Величина, плотность распределения которой задана формулой (27), называется равномерно распределенной случайной величиной.