§ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3.6. Двумерные случайные величины.
Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими —
в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика
и его высота
, образуют систему двух случайных величин
Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин ,
для которой определена вероятность
совместного выполнения неравенств
и
,
где x и y - любые действительные числа.
Функция двух переменных
![]() |
(34) |
определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин
Будем рассматривать и
как декартовы координаты точки на плоскости. Точка
может занимать то или иное положение на плоскости
. Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка
попадает в область
, изображенную на рис. 13.
Двумерная случайная величина называется дискретной, если
и
- дискретные величины.
Пусть возможные значения и
образуют, например, конечные последовательности x1, x2, ..., xn и y1, y2, ..., ys.
Возможные значения двумерной случайной величины
имеют вид (xi, yj), где i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., s. Обозначим через pij вероятность того, что
Функция распределения F(х, у) имеет вид
где двойная сумма распространена на те i и j, для которых xi<x и yj<y.
Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей.
Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины
, а первый столбец — возможные значения
.
В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:
![]() ![]() |
-1 | 0 | 1 |
0,1 | p11=0,05 | p12=0,20 | p13=0,30 |
0,2 | p21=0,10 | p22=0,20 | p23=0,15 |
Сумма всех вероятностей
Две дискретные случайные величины и
называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение
Пример 1.
Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через
— на второй;
тогда
— Двумерная дискретная величина. Покажем, что величины
и
независимы.
(Решение)
Двумерная величина называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная
функция
, двух переменных, что вероятность того, что точка
содержится в некоторой области
плоскости
,
равна двойному интегралу от функции
по области
:
![]() |
(35) |
Функция называется плотностью распределения вероятностей системы двух
величин
и
. Отсюда, в частности, следует, что если область
имеет вид, изображенный на рис. 13,
то функцию распределения системы случайных величин можно записать следующим образом:
![]() |
(36) |
Непрерывные случайные величины и
называются независимыми, если
, где
и
- соответственно плотности распределения вероятностей случайных величин
и
. В этом случае
где F1(x) и F2(y) — соответственно функции распределения величин и
[см. формулу (22)].
Зная функцию распределения F(х,у) двумерной случайной величины , легко найти как функцию распределения,
так и плотность распределения каждой из случайных величин
и
, в отдельности.
Действительно, пусть F1(x) - функция распределения случайной величины .
Тогда
. Так как в этом случае
может принимать любое значение, то ясно, что
Следовательно, по формуле (36) имеем
Дифференцируя последнее равенство по x, согласно правилу дифференцирования интеграла по переменной верхней границе получим
![]() |
(37) |
![]() |
(38) |
Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины,
надо проинтегрировать в границах от до
плотность распределения
системы
по переменной, соответствующей другой случайной величине.
Пример 2.
Двумерная случайная величина имеет плотность распределения
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14;
2) функцию распределения F(х,у);
3) плотности распределения каждой величины и
в отдельности.
(Решение)
По определению двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин
и
имеет вид
где ,
, а R - некоторая постоянная (см. § 9, п. 2).
Можно показать [используя формулы (37) и (38)], что каждая из величин
и
распределена нормально:
На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. В частности, если и
независимы, то
. Отсюда следует, что R=0, и, cледовательно,
Нетрудно убедиться в том, что справедливо и обратное утверждение: если R=0, то и
— независимые случайные величины.