§ 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

4.1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

m₁ - число подшипников с внешним диаметром х₁,

m₂ - число подшипников с внешним диаметром х₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

m_n - число подшипников с внешним диаметром х_n,

Здесь m₁+m₂+...+m_n=N. Найдем среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х₁, х₂, ..., х_n, c соответствующими вероятностями p₁=m₁/N, p₂=m₂/N, ..., p_n=m_n/N, так как вероятность p_i появления подшипника с внешним диаметром x_i равна m_i /N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

Значения	х1	х2	. . .	хn
Вероятности	p1	p2	. . .	pn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *

(39)

Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(40)

При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.

Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

Доказательство. Используя соотношение (39), имеем

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(41)

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:

(42)

Дальше...

---

* в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда

причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

** Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину

, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .