§ 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
4.2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения
Значения | -0,2 | -0,1 | 0,1 | 0,2 |
Вероятности p(x) | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Значения | -50 | -40 | 40 | 50 |
Вероятности p(x) | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:
Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:
(43) |
Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x1, x2, ..., xn соответственно с вероятностями p1, p2, ..., pn. Очевидно, случайная величина принимает значения
(44) |
Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению
(45) |
Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем
Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим
Следовательно,
Откуда окончательно находим
(46) |
Рассмотрим теперь свойства дисперсии.
1°. Дисперсия постоянной равна нулю. (Доказательство)
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
(47) |
3°. Если и - независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:
(48) |
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
(49) |
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .
Пример 1. Cлучайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1). Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение (Решение)
Пример 2. Cлучайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p (см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию. (Решение)
Пример 3. Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и (Решение)
Пример 4. Пусть - случайная величина распределенная по закону Пуассона
Пример 5. Пусть - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью
Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и (см. § 3, п.5). Найдем и
Так как
,то по формуле (40) находим
Проведем в интеграле замену переменной, полагая
тогда
Следовательно,
Но
[См. формулу (29)]. Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций
Следовательно,
Дисперсию находим по формуле (45)
(вычисление интеграла не приводим).
Итак,
Таким образом, параметры a и для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.
* Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как