§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
5.2. Закон больших чисел Чебышева.
Имеет место следующее утверждение. Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е.
для любого i. Тогда, каково бы нибыло
, справедливо соотношение
![]() |
(54) |
Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
Частный случай закона больших чисел Чебышева. Пусть - последовательность попарно
независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е.
и одинаковые математические ожидания
.
Тогда, каково бы нибыло
, справедливо соотношение
Это непосредственно следует из формулы (54), так как
Замечание. Говорят, что случайная величина сходится по
вероятности к числу А, если при сколь угодно малом
вероятность неравенства
с увеличением n неограниченно приближается к единице. Сходимость по вероятности не означает,
что
. Действительно, в последнем случае неравенство
выполняется для
всех достаточно больших значений n. В случае же сходимости по вероятности это неравенство для отдельных сколь угодно больших
значений n может не выполняться. Однако невыполнение неравенства
для больших значений
n есть событие очень редкое (маловероятное). Принимая это во внимание, частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.
Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин
, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания
, сходится по вероятности к а.
Поясним смысл частного случая закона больших чисел Чебышева. Пусть требуется найти истинное значение а
некоторой физической величины (например, размер некоторой детали). Для этого будем производить ряд независимых друг от друга
измерений. Всякое измерение сопровождается некоторой погрешностью (см. подробнее § 6, п. 1).
Поэтому каждый возможный результат измерения есть случайная величина (индекс i — номер измерения).
Предположим, что в каждом измерении нет систематической ошибки, т. е. отклонения от истинного значения а измеряемой величины в ту и другую
стороны равновероятны. В этом случае математические ожидания всех случайных величин
одинаковы
и равны измеряемой величине а, т. е.
Предположим, наконец, что измерения производятся с некоторой гарантированной точностью. Это значит, что для
всех измерений . Таким образом, мы находимся в условиях закона больших чисел Чебышева, а потому,
если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было
,
средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на