§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
5.2. Закон больших чисел Чебышева.
Имеет место следующее утверждение. Пусть - последовательность попарно
независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е.
для любого i. Тогда, каково бы нибыло
, справедливо соотношение
![]() |
(54) |
Доказательство:
Обозначим через величину
, т.е. среднюю арифметическую n случайных величин.
Случайная величина
имеет математическое ожидание
и дисперсию
(здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине
вторую лемму Чебышева, найдем, что
т.е.
так как при любом i, и следовательно,
Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим
Переходя к пределу при , имеем