§ 6. ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА И ЛАПЛАСА.
6.1. Теорема Ляпунова.
Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым * и составляют содержание теоремы, названной его именем.
Приведем без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова.
Пусть последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими
ожиданиями
и дисперсиями
, причем эти величины обладают следующими двумя свойствами:
1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство
, т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;
2) Cумма неограниченно растет при
.
Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.
Пусть a и - математическое ожидание и дисперсия случайной величины
. Тогда
Так как по следствию из теоремы Ляпунова случайная величина для больших
значений n имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32) имеет место соотношение
![]() |
(56) |
где Ф(х) - интеграл вероятностей.