§ 6. ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА И ЛАПЛАСА.

6.1. Теорема Ляпунова.

Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым * и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Приведем без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова.

Пусть последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Cумма неограниченно растет при .

Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть a и - математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда

Так как по следствию из теоремы Ляпунова случайная величина для больших значений n имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32) имеет место соотношение

(56)

где Ф(х) - интеграл вероятностей.