§ 6. ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА И ЛАПЛАСА.
6.3. Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение.
Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления
события А одна и та же и равна . Пусть m - число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно
больших n случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np,
.
Доказательство. Пусть - число наступления события A в i-м
опыте. Тогда
,
(cм. § 4, п. 2, пример 2).
Так как
может принимать только два значения 0 и 1, то для любого i имеем
. Кроме того, величина
стремится к бесконечности при
.
Итак, последовательность случайных величин
удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова.
Поэтому сумма этих величин
достаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать.
Вычислим вероятность того, что случайная величина m, т. е. число наступлений события А в n опытах,
удовлетворяет неравенствам , где x1 и x2 - данные числа.
Так как a=M(m)=np,
(cм. § 4, п. 2, пример 2).
То согласно формуле (32) получим
![]() |
(57) |
где Ф(х) - интеграл вероятностей.
Пример. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760. (Решение)