§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К СТАТИСТИКЕ.

8.2. Определение неизвестных параметров распределения.

C помощью гистограммы мы можем приближенно построить график плотности распределения случайной величины . Вид этого графика часто позволяет высказать предположение о плотности распределения вероятностей случайной величины . В выражение этой плотности распределения обычно входят некоторые параметры, которые требуется определить из опытных данных.

Остановимся на том частном случае, когда плотность распределения зависит от двух параметров.

Итак, пусть x₁, x₂, ..., x_n - наблюдаемые значения непрерывной случайной величины , и пусть ее плотность распределения вероятностей зависит от двух неизвестных параметров A и B, т.е. имеет вид . Один из методов нахождения неизвестных параметров A и B состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание и дисперсия теоретического распределения совпали с выборочными средними значением и дисперсией :

(66)

где

(67)

Из двух полученных уравнений (66) находят неизвестные параметры A и B. Так, например, если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, то ее плотность распределения вероятностей

зависит от двух параметров a и . Эти параметры, как мы знаем, являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины ; поэтому равенства (66) запишутся так:

(68)

Следовательно, плотность распределения вероятностей имеет вид

Замечание 1. Такую задачу мы уже решали в § 7. Результат замера есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения с параметрами a и . За приближенное значение a мы выбрали величину , а за приближенное значение - величину .

Замечание 2. При большом количестве опытов нахождение величин и по формулам (67) cвязано с громоздкими вычислениями. Поэтому поступают так: каждое из наблюдаемых значений величины , попавшее в i-й интервал ] X_i-1, X_i [ статистического ряда, считают приближенно равным середине c_i этого интервала, т.е. c_i=(X_i-1+X_i)/2. Рассмотрим первый интервал ] X₀, X₁ [. В него попало m₁ наблюдаемых значений случайной величины , каждое из которых мы заменяем числом с₁. Следовательно, сумма этих значений приближенно равна m₁с₁. Аналогично, сумма значений , попавших во второй интервал, приближенно равна m₂с₂ и т.д. Поэтому

Подобным же образом получим приближенное равенство

Итак,

(69)

где n=m₁+m₂+...+m_k, а k - число интервалов статистического ряда.

Замечание 3. На практике для еще большего упрощения вычислений прибегают к следующему приему. Пусть x₀ - произвольное число. Обозначим u_i=с_i-x₀ и рассмотрим величины v₁ и v₂, определяемые соотношениями

(70)

Покажем, что

(71)

Действительно,

так как

[cм.формулы (69)].

Итак, , откуда . Аналогично доказывается и второе из соотношений (71)

Пример. Построенная гистограмма для статистического распределения значений диаметра вала хвостовика (см. рис. 17) позволяет сделать предположение о том, что мы имеем дело с нормальным законом распределения. Требуется, исходя из опытных данных, представленных в таблице из примера п.8.1., определить параметры a и этого распределения. (Решение)

Дальше...