§ 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИЙ.

9.4. Анализ линейной корреляции по опытным данным.

Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола () сосны и ее высотой () было исследовано 26 сосен. Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22,5 до 28,5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см. Разбивая диапазон изменения высоты сосны на интервалы длиной 1 м, а диапазон изменения диаметра ствола на интервалы длиной 4 см, получим таблицу, приведенную в разделе 9.1. Эта таблица называется корреляционной. В каждой ее клетке стоит число сосен, диаметр ствола и высота которых находится в указанных границах (числа m_ij). При подсчете статистических характеристик примем высоту всех сосен, попавших в данный интервал, равной середине с_i этого интервала, а диаметр ствола - равным середине d_j cоответствующего интервала.

Подсчет выборочных средних, дисперсий и коэффициента корреляции производим по формулам (84) и (85). Для подсчета , , и составляем две вспомогательные таблицы, принимая x₀=25 и y₀=34, т.е. u_i=c_i-25 и v_j=d_j-34.

Номер интер-вала	Середина интервала ci высоты
1	23	-2	2	4	-4	8
2	24	-1	4	1	-4	4
3	25	0	6	0	0	0
4	26	1	6	1	6	6
5	27	2	5	4	10	20
6	28	3	3	9	9	27
			26		17	65

Номер интер-вала	Середина интервала dj диаметра
1	22	-12	2	144	-24	288
2	26	-8	5	64	-40	320
3	30	-4	5	16	-20	80
4	34	0	3	0	0	0
5	38	4	4	16	16	64
6	42	8	5	64	40	320
7	46	12	2	144	24	288
			26		-4	1360

Из первой таблицы для высоты сосны получаем

Из второй таблицы для диаметра ствола сосны находим

Для подсчета составляем новую таблицу. В каждой ее клетке (справа) указано число m_ij сосен, имеющих одни и те же значения u_i а v_j, а слева указано произведение m_iju_iv_j. Последний столбец состоит из суммы всех m_iju_iv_j при постоянном j. Как видно из таблицы

	ui
vj	-2	-1	0	1	2	3
-12	48 \ 2						48
-8		16 \ 2	0 \ 1	-16 \ 2			0
-4		8 \ 2	0 \ 2		-8 \ 1		0
0			0 \ 2	0 \ 1			0
4			0 \ 1	4 \ 1	16 \ 2		20
8				16 \ 2		72 \ 3	88
12					48 \ 2		48
							204

Используя формулу (85), найдем выборочный коэффициент корреляции:

По формулам (81) находим приближенные значения коэффициентов регрессии:

По формулам (82) и (83) найдем эмпирические уравнения прямых регрессий.

Уравнение прямой регрессии на имеет вид

y-33,85=3,81(x-25,65), или y=3,81x-63,88

Это уравнение дает зависимость среднего значения диаметра ствола от его длины.

Уравнение прямой регрессии на имеет вид

x-25,65=0,15(y-33,85), или x=0,15y+21,57

Последнее уравнение дает зависимость среднего значения длины ствола от его диаметра.